Школьный этап 2015-2016 уч. год

5 класс

(1,5 часа или 2 урока)

1. У Лешего в подвале стоят соленые грибы: 6 банок рыжиков, 9 банок лисичек, 10 банок опят и 27 банок груздей. Может ли Леший съесть все солёные грибы, если каждый день он хочет съедать по 2 банки грибов, при этом обязательно разных видов? Ответ обоснуйте.

Ответ. Не может.

Решение. Первый способ. Каждую банку груздей Леший съедает вместе с какой-то из 6 + 9 + 10 = 25 банок грибов другого сорта. Значит, он съест не более 25 банок груздей и все соленья съесть не сможет.

Второй способ. Всего банок 6 + 9 + 10 +27 = 52. Если съедать по 2 банки в день, то пройдёт 52:2=26 дней. Но банок с груздями 27, значит, в какой-то день Лешему придётся есть две банки с груздями. Противоречие.

Критерии: Только верный ответ без объяснения –2 балла.

Верный ответ с объяснением –7 баллов.

2. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на четыре равные части по линиям сетки и сложите из них квадрат. В решении укажите, как надо разрезать и как складывать.

Решение.

Критерии: Правильный ответ – 7 баллов.

Если показано только разрезание или только складывание – 4 балла.

3. Мальчик по нечётным числам всегда говорит правду, а по чётным всегда врёт. Как-то в середине сентября его три дня подряд спрашивали: «Какой сегодня день недели?». В первый день он ответил: «Вторник», во второй: «Четверг», в третий: «Суббота». В какой день недели был задан последний вопрос? Объясните, как вы рассуждали.

Ответ: Пятница.

Решение. Если в первый день он сказал правду, то во второй он солгал, а в третий снова сказал правду. Но тогда в третий день должен быть четверг, а он сказал «Суббота» – противоречие. Если он в первый день солгал, то во второй он сказал правду, а в третий солгал. Значит, третий день – пятница. Противоречия нет.

Критерии: Только ответ – 1 балл.

Если рассмотрен только один случай из двух – 3 балла.

Верный ответ с разбором всех случаев –7 баллов.

4. В мешке 31 кг муки. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1 кг за два взвешивания отмерить 7 кг муки?

Решение. При первом взвешивании на одну из чашек весов кладем гирю и всю муку раскладываем по чашкам так, чтобы установилось равновесие. Получим 16 и 15 кг муки. Кучку с 16 кг откладываем. При втором взвешивании берем 15 кг муки. На одну из чашек весов кладем гирю и всю муку раскладываем по чашкам так, чтобы установилось равновесие. Получим 8 и 7 кг муки.

Критерии: Верный ответ с описанием алгоритма –7 баллов.

5. Решить ребус МУ=БЕ+БЕ=КУ+КУ+КУ. (Разные буквы обозначают разные цифры, одинаковые — одинаковые.) Ответ обосновать.

Ответ: 90=45+45=30+30+30.

Решение. Рассмотрим возможные значения К. Значение К не может быть больше 3, так как тогда в сумме получится трёхзначное число (1).

Если К=1, то возможны следующие варианты.

Если 3У=У, то У=0, тогда 10+10+10=30. Отсюда следует, что БЕ=30:2=15, то есть Б=К и получаем противоречие (2).

Если 3У=10+У, то У=5, тогда 15+15+15=45. Противоречие, так как МУ чётное число (3).

Если 3У=20+У, то У=10, а это не цифра, снова противоречие (4).

Если К=2, то возможны следующие варианты.

Если 3У=У, то У=0, тогда 20+20+20=60. Отсюда следует, что БЕ=60:2=30, то есть Е=У и получаем противоречие (5).

Если 3У=10+У, то У=5, тогда 25+25+25=75. Противоречие, так как МУ чётное число (3).

Если 3У=20+У, то У=10, а это не цифра, снова противоречие (4).

Если К=3, то возможны только один вариант, так как не может быть перехода в другой разряд.

Если 3У=У, то У=0, тогда 30+30+30=60. Отсюда следует, что БЕ=90:2=45.

Критерии: Правильный ответ без обоснования – 1 балл.

Верно обоснованы некоторые из промежуточных утверждений (1), (2), (3), (4) или (5) – по 1 баллу за каждое. В сумме не более 4 баллов.

Правильный ответ с полным обоснованием – 7 баллов.