Школьный этап 2015-2016 уч. год

6 класс

(1,5 часа или 2 урока)

1. Расставьте скобки в выражении 9 – 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3– 2 – 1 = 1 так, чтобы получилось верное равенство.

Ответ. Например, скобки можно расставить так: 9 – (8 – 7) – 6 – (5 – 4) – (3– 2 – 1) = 1. Или так (9 – 8) – (7 – 6 – 5) – 4 – (3– 2 – 1) = 1.

Замечание: Имеются и другие решения.

Критерии: Любой верный пример – 7 баллов.

2. Из клетчатого квадрата 5×5 вырезали центральный квадратик. Разрежьте оставшуюся фигуру на 4 равных клетчатых фигуры, которые не являются прямоугольниками. Приведите какой-нибудь один пример разрезания.

Решение.

Первый способ

Второй способ

Возможны и другие разрезания.

Критерии: Разрезание на прямоугольники – 0 баллов.

Любое правильное разрезание – 7 баллов.

3. Даны три сосуда: первый емкостью 5 л, второй — 11 л, третий — 20 л. Первые два сосуда пустые. Третий заполнен водой. Как с помощью нескольких переливаний налить во второй сосуд ровно 7 л воды? (При переливаниях разрешается наливать в сосуд ровно столько воды, сколько в нём помещается, либо выливать всю воду из одного сосуда в другой, если она в него вся помещается.)

Решение.

Критерии: Любой верный алгоритм – 7 баллов.

4. У весов сдвинута стрелка, то есть они всегда показывают на одно и то же число граммов больше (или меньше) чем истинный вес. Когда на весы положили дыню, весы показали 4 кг. Когда на весы положили арбуз, весы показали 7 кг. Когда взвесили вместе и арбуз и дыню, весы показали 11,5 кг. Сколько кг покажут весы, если на них поставить гирю в 5 кг?

Ответ. 4,5 кг.

Решение. На сумму 4 + 7 = 11 кг сдвиг стрелки влияет дважды, а на вес 11,5 кг – только один раз. Поэтому сдвиг стрелки равен 11 – 11,5 = –0,5 кг. Следовательно, правильный вес на 0,5 кг больше, чем показывают весы. Значит, если на весы поставить гирю в 5 кг, то они покажут 4,5 кг.

Критерии: Только верный ответ – 1 балл.

Верно (с объяснением) найдена только погрешность весов – 3 балла.

Верно (с объяснением) найден ответ – 7 баллов.

5. В соревнованиях по лыжным гонкам участвовали 4 лыжника: Антилопов, Бобров, Волков и Гепардов. Перед дистанцией один зритель сказал, что первым будет Гепардов, а третьим придет Волков, второй зритель сказал, что Бобров будет последним, а Антилопов – первым, третий зритель предсказал, что Гепардов обгонит Антилопова, а Бобров – Волкова. После забега выяснилось, что не угадал всего лишь один зритель, а два других предсказали верный результат. В каком порядке лыжники пришли к финишу? Ответ обосновать.

Ответ: Гепардов – первый, Бобров – второй, Волков – третий, Антилопов – четвёртый.

Решение. Если ошибся только первый зритель, а второй и третий правы, то Бобров должен быть последним, но при этом обогнать Волкова. Противоречие. Если ошибся только второй зритель, а первый и третий правы, то Гепардов – первый, Бобров – второй, Волков – третий, Антилопов – четвёртый. Если ошибся только третий зритель, а первый и второй правы, то Гепардов – первый и Антилопов – первый. Противоречие.

Критерии: Только верный ответ – 1 балл.

Если в рассуждениях разобраны не все случаи – не более 3 баллов.