Школьный этап 2015-2016 уч. год

7 класс

(2,25 часа или 3 урока)

1. Винни-Пух, Пятачок и Кролик участвовали в беге на 200 м. Когда Кролик прибежал на финиш, Пятачок был позади него на 25 м, также, когда Пятачок финишировал, Винни-Пух был позади него на 40 м. На сколько метров на финише Кролик опередил Винни-Пуха?

Ответ. На 60 метров.

Решение. Скорость Пятачка составляет 7/8 от скорости Кролика, а скорость Винни-Пуха составляет 4/5 от скорости Пятачка, т.е. 7/10 от скорости Кролика. Значит, он пробежал 140 метров, когда Кролик финишировал, то есть отстал на 60 метров.

Критерии: Только верный ответ – 1 балл.

Обоснованный ответ – 7 баллов.

2. В записи 10-значного числа были использованы все 10 цифр. Вместо каждой цифры написали количество соседних цифр, которые меньше неё. Могло ли получиться число 0112111110?

Ответ: Могло.

Решение. Пример: 6789543210. Однозначно определяются две цифры: 9 и 0. Первый шаг: ставим 9. Второй шаг: ставим 0. Выбираем три цифры из восьми, которые будут стоять перед цифрой 9. Порядок определяется однозначно. В примере указано наибольшее возможное число. Нетрудно найти и наименьшее: 1239876540. Всего возможных примеров 56.

Критерии: Только верный ответ, без примера – 0 баллов.

Ответ с любым верным примером – 7 баллов.

3. Дан ребус ГРОМ+ГРОМ+ГРОМ+ГРОМ+ГРОМ=БУРЯ (Разные буквы обозначают разные цифры, одинаковые — одинаковые). Найдите самую большую бурю (то есть самое большое значение числа БУРЯ). Ответ обоснуйте.

Ответ: 1876×5=9380.

Решение. Так как в сумме не появляется новый разряд, то Г не больше 1. С 0 начинаться число не может, значит, Г=1. Так как значение Б должно быть максимально, то рассмотрим случай Б=9. Тогда переход в этот разряд равен 4. При умножении на 5 можно получить 45 или 40, но 9 уже занято. Значит, Р=8. Следующее максимальное значение остаётся для О=7, а для М=6. Проверим, что всё сходится: 1876×5=9380.

Критерии: Только верный ответ – 1 балл.

Обосновано значение только некоторых букв и верный ответ – 3 балла.

4. Из произведения всех натуральных чисел от 98 до 2015 включительно вычеркнули все множители, делящиеся на 5. Какой цифрой будет оканчиваться произведение оставшихся чисел?

Ответ. 8.

Решение. Заметим сначала, что на последнюю цифру произведения влияют только последние цифры сомножителей. Поэтому наше произведение имеет ту же последнюю цифру, что и произведение последних цифр. Рассмотрим произведение 1 2 3 4 6 7 8 9. Оно оканчивается на 6. Такие блоки повторяются и их произведения тоже заканчиваются на 6. Учитываем, что в наши блоки не входят хвосты: 8 9 и 1 2 3 4. Тогда наше произведение оканчивается на ту же цифру, что и произведение 8 9 6 1 2 3 4. Оно оканчивается на 8.

Критерии: Приведён только верный ответ – 1 балл.

При решении найдена закономерность для блока из 8 чисел – 3 балла.

Полное решение – 7 баллов.

5. Из клетчатого квадрата 12×12 вырезали клетчатый квадрат 10×10 так, что получилась рамка из 44 клеток. На какое наибольшее число не равных между собой клетчатых многоугольников её можно разрезать?

Ответ: 10.

Решение. Пример показан на рисунке.

Оценка. Пусть удалось рамку разрезать на не менее чем одиннадцать не равных между собой фигур. Тогда уголков не более четырёх, и они занимают не менее 3+4+5+5=17 клеток. Семь неравных прямоугольников со стороной 1 занимают не менее 1+2+3+4+5+6+7=28 клеток.

Всего занято 17+28=45 клеток, а их 44. Противоречие.

Критерии: Приведён только пример – 3 балла.

Получена только оценка – 3 балла.

Полное решение – 7 баллов.