Школьный этап 2015-2016 уч. год

9 класс

(3 часа или 4 урока)

1. Существует ли натуральное число, у которого произведение его цифр на 2015 меньше суммы его цифр?

Ответ. Да.

Решение. Например: 11…10 (2015 единиц). Или 11…1 (2016 единиц).

Критерии: Только верный ответ без примера – 1 балл.

Верный ответ с любым правильным примером – 7 баллов.

2. Какую наименьшую сумму могут иметь три последовательных натуральных числа, если эта сумма оканчивается на 2015? Укажите эти числа.

Ответ. 12015=4004+4005+4006.

Решение. Пусть n – среднее из данных чисел. Тогда их сумма равна

(n–1)+n+(n+1)=3n, то есть сумма делится на 3. Если число делится на 3, то и сумма его цифр делится на 3. Тогда сумма неизвестных цифр должна давать остаток 1 при делении на 3. Наименьшее значение этой суммы 1, значит, наименьшим числом будет 12015.

Критерии: Указана только верная сумма без обоснования – 1 балл.

Указана верная сумма и все слагаемые без обоснования – 2 балла.

Полное решение – 7 баллов.

3. Дан параллелограмм ABCD. На стороне BC взята точка M так, что BM:MC=1:3. А на стороне CD взята точка N так, что CN:ND=8:1. Диагональ BD пересекает прямые AM и AN в точках P и Q соответственно. Найдите отношение PQ: BD.

Ответ: 7:10.

Решение.

Рассмотрим подобные треугольники APD и BPM. Так как BM:MC=1:3, то коэффициент подобия равен 4.

Отсюда BP= BD.

Теперь рассмотрим подобные треугольники AQB и DQN. Так как CN:ND=8:1, то коэффициент подобия равен 9. Отсюда DQ= BD. Получаем, что PQ= BD – BD – BD= BD.

Возможны и другие решения, не использующие подобие.

Критерии: Указана только одна пара подобных треугольников – 2 балла.

Указаны две пары подобных треугольников – 3 балла.

Полное решение – 7 баллов.

4. Сравните две дроби и . Ответ обоснуйте.

Ответ. Вторая дробь больше.

Решение. . Последнее неравенство очевидно.

Критерии: Только верный ответ – 1 балл.

Полное решение – 7 баллов.

5. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белое и черное поля, не лежащие на одной горизонтали или одной вертикали?

Ответ. 32⋅24=768.

Решение. Выберем сначала черное поле, это можно сделать 32 способами (всего 32 белых и 32 черных клетки). На той вертикали, где находится выбранное поле, есть четыре белых и четыре черных клетки, точно также, на той горизонтали, где оно находится, есть четыре белых и четыре черных клетки, следовательно, выбирать белое поле можно уже из 32−4−4=24 клеток. По правилу произведения получаем ответ: 32⋅24=768 способа.

Критерии: Указан только ответ (число или произведение) без обоснования – 2 балла.

Полное решение – 7 баллов.