Школьный этап 2015-2016 уч. год
10 класс
(3 часа или 4 урока)
1. Придумайте квадратный трехчлен, который имеет отрицательный коэффициент, но при всех x больше трехчлена 
Ответ. Например, 
Решение. Подбор можно осуществлять, введя один параметр: 
Критерии: Только верный пример – 3 балла.
Верный пример с обоснованием – 7 баллов.
2. Если каждый мальчик купит тетрадь, а каждая девочка – блокнот, то они потратят вместе на один рубль меньше, чем, если бы каждый мальчик купил блокнот, а каждая девочка – тетрадь. Известно, что тетрадь и блокнот стоят целое число рублей, и что мальчиков больше, чем девочек. Что дороже: тетрадь или блокнот, и на сколько?
Ответ. Тетрадь дешевле блокнота на 1 рубль.
Решение. Пусть m и n – соответственно количество мальчиков и девочек, а x и y – соответственно цена тетради и блокнота. Тогда, по условию, 
Критерии: Только ответ без обоснования – 1 балл.
Полное решение – 7 баллов.
3. Сколько существует трёхзначных чисел, в которых отношение каждой следующей цифры к предыдущей (считая слева направо) является целым числом?
Ответ: 67.
Решение. Если первая цифра больше 4, то вторая может быть только той же самой, а третья – той же самой или нулём. Всего 10 вариантов.
Если первая цифра 4, то вторая – 4 или 8. Если вторая 4, то третья – 4, 8 или 0, а если вторая 8, то третья – 8 или 0. Всего 5 вариантов.
Если первая цифра 3, то вторая – 3, 6 или 9. Если вторая 3, то третья – 3, 6, 9 или 0, если вторая 6, то третья – 6 или 0, а если вторая 9, то третья – 9 или 0. Всего 8 вариантов.
Если первая цифра 2, то вторая – 2, 4, 6 или 8. Если вторая 2, то третья – 2, 4, 6, 8 или 0, если вторая 4, то третья – 4, 8 или 0, если вторая 6, то третья – 6 или 0, а если вторая 8, то третья – 8 или 0. Всего 12 вариантов.
Если первая цифра 1, то вторая – любая от 1 до 9. Если вторая 1, то третья – любая из 10 цифр, если вторая 2, то третья – 2, 4, 6, 8, 0, если вторая 3, то третья – 3, 6, 9 или 0, если вторая 4, то третья – 4, 8 или 0, а если вторая больше 4, то третья – такая же или 0. Всего 32 варианта.
Общее число вариантов – 10+5+8+12+32=67.
Примечание. Если отношение является натуральным числом, то вариантов 5+3+5+8+23=44.
Критерии: Только ответ без обоснования – 1 балл.
Найден верный ответ в случае, когда отношение является натуральным числом – 3 балла.
Ответ найден с вычислительной ошибкой, при этом каждый случай разобран и ошибка только в одном из вариантов – 4 балла.
Полное решение – 7 баллов.
4. Две стороны треугольника равны 34 и 32, а медиана, проведенная к третьей, равна 17. Найдите площадь треугольника.
Ответ. 480.
Решение. Пусть данный треугольник ABC, AB=34, BC=32, медиана BM=17. Пусть N — середина AB. Тогда MN — средняя линия треугольника ABC, поэтому MN=16. Кроме того BN=AB/2=17. Значит, треугольник MNB равнобедренный. Его высота, опущенная на основание MN, находится по теореме Пифагора: 
Замечание 1. Площадь 
Замечание 2. Можно удвоить 
Критерии: Только ответ без обоснования – 1 балл.
Сделано верное дополнительное построение – 2 балла.
Найдена высота вспомогательного треугольника – 3 балла.
Полное решение – 7 баллов.
5. Про числовую функцию f известно, что f(5)≠0, а также, что для любых x и y
f(x)⋅f(y)=f(x−y).
Найдите все возможные значения f(2015).
Ответ. 1.
Решение. Подставив в уравнение x=5, y=0, получаем, что
f(0)=1.
Подставив y=x, получаем, что
f 2 (x)=1.
Отсюда имеем либо f(x)=1, либо f(x)=−1 для любого х.
То есть либо f(x)=f(y)=f(x−y)=1, либо f(x)=f(y)=f(x−y)=-1. Но во втором случае получаем -1⋅(-1)=-1, что не верно. Значит, остается только f(x)=1 для всех х, что удовлетворяет условию задачи.
Критерии: Только ответ без обоснования – 1 балл.
Получено уравнение f 2(x)=1. – 3 балла.
Полное решение – 7 баллов.