Школьный этап 2015-2016 уч. год

11 класс

(3 часа или 4 урока)

1. Дана числовая функция f, удовлетворяющая уравнению: f(x) − f(y) = y – x.

Известно, что f(1)=1. Найдите значение f(2015).

Ответ. –2013.

Решение. Подставив в уравнение x=2015, y=1 получаем линейное уравнение на f(2015): f(2015) − 1=1 − 2015. Отсюда f(2015)=−2014+1=−2013.

Критерии: Только верный ответ без пояснений – 1 балл.

Верный ответ с обоснованием – 7 баллов.

2. На столе белой стороной кверху лежали 100 карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая черная. Миша перевернул 48 карточек, затем Ваня перевернул 69 карточек, а после этого Петя – 71 карточек. Оказалось, что в результате все 100 карточек лежат черной стороной вверх. Сколько карточек было перевернуто трижды?

Ответ. 44.

Решение. Так как все карточки в итоге оказались перевернуты, то каждую из них переворачивали либо 1 раз, либо 3 раза. Всего было сделано 188 переворачиваний: 100 из них потребовалось, чтобы перевернуть каждую карточку 1 раз; остальные 88 – чтобы какие-то карточки перевернуть ещё по 2 раза. Значит, по 3 раза перевернули 44 карточек.

Критерии: Только верный ответ без пояснений – 1 балл.

Верный ответ с обоснованием – 7 баллов.

3. Шесть девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг? Ответ обоснуйте.

Ответ. 120.

Решение. Наденем на одну из девушек красную шапочку, чтобы отличать ее от остальных. Затем пронумеруем всех девушек, следующих за ней, против часовой стрелки — ту, которая по правую руку от Красной Шапочки, назовем первой, следующую — второй, и т.д. Тогда в качестве первой девушки может быть любая из пяти (ею могут быть все, кроме самой Красной Шапочки), на втором месте может быть любая из четырех оставшихся, и т.д. В итоге получаем 5!=120.

Критерии: Только верный ответ без пояснений – 1 балл.

Верный ответ с обоснованием – 7 баллов.

4. Каждый член семьи выпил по одинаковой чашке кофе с молоком, причем Оля выпила 1/7 налитого по всем чашкам молока и 1/9 часть налитого кофе. Сколько человек в семье?

Ответ. 8.

Решение. Обозначим весь объём выпитого молока за х, а весь объём выпитого кофе за у. Пусть в семье n человек. Тогда вычислим объём одной чашки двумя способами и получим уравнение. . Так как объёмы есть величины положительные, то обе скобки одного знака, то есть .

Критерии: Только верный ответ без пояснений – 1 балл.

Правильно составлено уравнение – 3 балла.

Верный ответ с обоснованием – 7 баллов.

5. В треугольнике две высоты равны 12 и 20. Найдите максимальное возможное целое значение длины третьей высоты.

Ответ. 29.

Решение. Обозначив через S площадь треугольника, через , и – высоты треугольника, опирающиеся на соответствующие стороны a, b и c, получим: , откуда, выразив стороны треугольника, мы можем записать неравенство треугольника: .

Сократив, получим. Значит, максимальное возможное целое значение высоты — 29. Пример легко получить, если взять треугольник со сторонами, обратными числам 12, 20 и 29, а затем сделать подобие с нужным коэффициентом.

Критерии: Только верный ответ без пояснений – 1 балл.

Верно получена только оценка – 3 балла.

Верно получен только пример – 3 балла.

Верный ответ с обоснованием – 7 баллов.